Fils d'Erich Kleiber, célèbre chef d'orchestre, il émigra avec sa famille en Argentine en 1935 pour fuir le nazisme. Il y étudia la musique et fit ses débuts dans la direction à La Plata. Il regagna par la suite l'Europe où il dirigea les plus prestigieuses phalanges orchestrales dont l'Orchestre philharmonique de Vienne. Son répertoire reste quasi exclusivement romantique et il ne dirigea guère d'œuvres postérieures à Gustav Mahler ou Richard Strauss, à l'exception d'Alban Berg. Il dirigea également de nombreux opéras dont Tristan et Isolde de Richard Wagner à Bayreuth entre 1974 et 1976.
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